什么是互质数(数学基础概念 | 公约数、公倍数、互质数)

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什么叫公约数？
公约数，亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数。
公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，最大公约数就是3。再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，最大公约数是10
什么叫公倍数？
公倍数(common multiple)指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数。
A和B，A/B=C　如果A能被B整除，则A为B和C的公倍数　两个数A和B，它们的公倍数就是既是A的倍数又是B的倍数的数，即能同时被A、B整除的数 比如说：12和15，它们的公倍数是60，120，180，等等 在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数，就是60。
如何求最小公倍数
1.分解质因数法
首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
比如求45和30的最小公倍数。　　
45=3*3*5 　，　30=2*3*5
不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.
最小公倍数等于2*3*3*5=90
又如计算36和270的最小公倍数
36=2*2*3*3 　，　270=2*3*3*3*5
不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。
最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540
2.倍数关系 　　
如果较大数是较小数的倍数，较大数就是它们的最小公倍数。
什么叫互质数？
定义及定理：对于两个数来看 ，公因数只有1的两个数，叫做互质数。对于多个数来看（教材定义）若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。
表达及运用注意：
（1）这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。　　
（2）“公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。” 　　
（3）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。两个正整数（N）,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2
判定互质数的方法汇总
直接分辨法：
（1）两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。　　
（2）相邻的两个自然数是互质数。例如 15与 16。　（3）相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。　　
（4）大数是质数的两个数是互质数。例如 97与 88。
（5）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7 和 16。　　
（6）2和任何奇数是互质数。例如 2和 87。　　
（7）1和任何自然数（0除外）都是互质数。
计算判定法：
（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如 357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。　　
（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。　　
（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221 　　
462÷221=2……20 ， 　20=2×2×5。　　
2、5都不是221的约数，则两个数是互质数。　　
（4）减除法。如255与182。　
255－182=73，观察知 73<182。　　
182－（73×2）=36，显然 36<73。　　
73－（36×2）=1， 　　
（255，182）=1。　　
所以这两个数是互质数。
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