qq名字网创意折叠桌
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“随着城市住房成本的提高，折叠家具因空间利用率高和运输方便而为广大消费者所青睐。小数研究了“创意平板折叠桌”，得出平板折叠桌满足的数学模型，能够根据客户的要求设计出平板桌的加工尺寸。”
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小数研究了“创意平板折叠桌”的动态变化过程，利用空间几何知识，建立了折叠桌桌腿长度、桌腿木条开槽长度等加工参数的数学模型。建立了以稳固性、加工方便、使用材料成本为目标函数的约束规划模型，求解出最优加工参数。
01问题背景
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（见图1）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿最外侧两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动（见图2 和图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
图1 桌子折叠过程
图2 桌子形状及边缘线 图 3 桌子开槽
问题1 给定长方形平板尺寸为120 cm×50 cm×3cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条中心位置，桌子折叠后高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌桌腿木条开槽长度和桌脚边缘线的数学描述。
问题2 对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，综合考虑产品稳固性、加工方便和用材最少，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。
小数利用空间几何知识对问题1进行研究，建立了折叠桌桌腿长度、桌腿木条开槽的长度等加工参数的数学模型。针对问题2，给出了产品稳固性、加工方便、用材最少等隶属度函数，并进行加权求和，得到相应的约束规划模型，求解得出最优设计加工参数。
本文中，L表示平板长度；D表示平板宽度；C表示平板厚度；l表示最外面一根桌腿旋转点到钢筋距离；l’表示内侧任意一根桌腿旋转点到中轴的距离；H表示桌面距离地面的高度；θ表示最外面一根木条旋转角度；φ表示桌脚边缘线上一点与x轴正方向的夹角；R表示圆桌的半径；w表示每根桌腿宽度；a表示同侧两个桌脚之间距离。
02 问题1 的数学建模
01桌腿边缘线的数学建模
以桌面中心为原点，建立空间直角坐标系，x轴、y轴分别平行于平板的长和宽，z轴垂直于桌面（见图4）。设桌子放置好后桌脚边缘线上的点A(x,y,z)，其在桌子平放时平面上初始点为A，桌子放置好后的几何结构见图5。图5在xoy平面的投影见图6，在yoz平面的投影见图7。
通过几何学相关知识，可计算得到折叠桌放置好后桌脚边缘线点A(x,y,z)坐标满足的数学模型为：
其中：
计算得到桌腿长度和桌腿边缘线点坐标位置（见表1），因桌子关于z轴对称，故只给出第五卦象10根桌腿数据。
表1.第五卦象10根桌脚长度及空间坐标
由MATLAB命令画出最终桌角边缘运动所形成的曲线（见图8），其中，图8a是去掉桌子整体，只考虑桌角边缘线的具体图形；图8ｂ是桌子整体图形（桌角边缘线被特别画出了）。
图8 桌腿边缘线
02开槽长度数学建模
将小桌子桌面抽象为圆面，并沿x轴将桌腿投影到yoz 平面上（见图9）。
图9 桌腿在yoz的投影
图9中C点代表桌腿旋转点，B以及B点表示钢筋的位置，OA代表最外侧桌腿，OB表示旋转过程中的最外侧桌腿位置，CA代表内侧任意一条桌腿，CB表示内侧任意一条桌腿旋转过程中的位置。由于钢筋固定在最外侧桌腿的中点，钢筋由B旋转到B的过程中，钢筋的位置到旋转点C的距离即BC的长度会产生变化，所以可以求出木条开槽的长度。
在ΔOBC中，由余弦定理可知，
已知折叠桌木板的宽度为D= 50 cm，每条桌脚宽度为w= 2.5 cm，将该数据代入公式，计算可得10根木条开槽的长度分别为0，4.44，7.92，10.73，13.00，14.79，16.15，17.10，17.67，17.86cm，桌脚开槽见图10。
图10 桌脚开槽示意图
03问题2 的数学建模
针对稳定性好、加工方便、用料最少的要求，采用多目标规划以及隶属度函数建立数学模型。
01防滑性隶属度分析
当桌子处于静止状态时，对平板桌一个桌脚进行受力分析（见图11）。根据受力分析图得摩擦力达到最大静摩檫力fmax为最大值，即Gμ/4cosθ，其中μ为桌腿与地面的摩擦系数。
图11 桌脚受力分析
定义桌脚与地面之间存在不同夹角时，桌子所受摩擦力与最大静摩擦力的比值为桌子防滑系数。定义防滑系数的隶属度
将桌子的防滑性、稳定性、加工方便和材料成本等4个因素按照给定的权重进行加权求和为目标函数，建立约束规划模型，如下：
由条件可知，桌子高H0= 70 cm，桌面半径R0= 40 cm，计算可得最优值为69.02 度，l =35.99 cm，L= 150 cm。即此时桌子最外面桌腿与地面成69.02°，钢筋固定在桌腿最外侧木条上的距离为35.99cm，所用的木板长150 cm。
参考文献[1] 教育部高等教育司，中国工业与应用数学学会。2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目[EB/OL]。（2014-09-09）[2015-03-10]。http://www.mcm.edu.cn
[2] 李慧，康占春，项会娜。创意平板折叠桌[J]。内江科技，2015（2）：55-56
[3]贾文，王祎。创意平板折叠桌中的数学问题[J]。齐鲁工业大学学报，2015，29（1）：79-83
[4] 向高军，季廷洪，杜博亚。创意平板折叠桌的设计[J]。硅谷，2015（1）：222-223
[5]毛东丽，华军涛，许留洋，等。创意平板折叠桌的工程模型分析[J]。福建电脑，2014（11）：179-180
[6] 杜源，许峰。创意折叠桌的计算机设计[J]。软件导刊，2015，14（2）：28-30
[7] 吕林根，许子道。解析几何[M]。4版。北京：高等教育出版社，2006
[8] 赵海滨。MATLAB应用大全[M]。北京：清华大学出版社，2012
[9] 巩敦卫，孙靖。区间多目标进化优化理论与应用[M]。北京：科学出版社，2013
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